Операции над векторами и их свойства.

Операция сложения двух векторов - правило треугольника.

Покажем как происходит сложение двух векторов.

Сложение векторов  и  происходит так: от произвольной точки A откладывается вектор , равный , далее от точки B откладываеься вектор , равный , и вектор  представляет собой сумму векторов  и . Такой способ сложения двух векторов назвается правилом треугольника.

Проиллюстрируем сложение не коллинеарных векторов на плоскости по правилу треугольника.

А на чертеже ниже показано сложение сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Сложение нескольких векторов - правило многоугольника.

Основываясь на рассмотренной операции сложения двух векторов, мы можем сложить три вектора и более. В этом случае складываются первые два вектора, к полученному результату прибавляется третий вектор, к получившемуся прибавляется четвертый и так далее.

Сложение нескольких векторов выполняется следующим построением. От произвольной точки А плоскости или пространства откладывается вектор, равный первому слагаемому, от его конца откладывается вектор, равный второму слагаемому, от его конца откладывается третье слагаемое, и так далее. Пусть точкаB - это конец последнего отложенного вектора. Суммой всех этих векторов будет вектор .

Сложение нескольких векторов на плоскости таким способом называется правилом многоугольника. Приведем иллюстрацию правила многоугольника.

Абсолютно аналогично производится сложение нескольких векторов в пространстве.

Операция умножения вектора на число.

Сейчас разберемся как происходит умножение вектора на число.

Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз приk > 1 или сжатию в  раз при 0 < k < 1, при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

К примеру, при умножении вектора  на число 2 нам следует вдвое увеличить его длину и сохранить направление, а при умножении вектора  на минус одну треть следует уменьшить его длину втрое и изменить направление на противоположное. Приведем для наглядности иллюстрацию этого случая.

Свойства операций над векторами.

Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число. При этом для любых векторов  и произвольных действительных чисел  можно при помощи геометрических построений обосновать следующиесвойства операций над векторами. Некоторые из них очевидны.

1. Свойство коммутативности .
2. Свойство ассоциативности сложения .
3. Существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевой вектор , и . Это свойство очевидно.
4. Для любого ненулевого вектора  существует противоположный вектор  и верно равенство . Это свойство очевидно без иллюстрации.
5. Сочетательное свойство умножения . К примеру, растяжение вектора в 6 раз можно произвести, если сначала его растянуть вдвое и полученный вектор растянуть еще втрое. Аналогичного результата можно добиться, например, сжав вектор вдвое, а полученный вектор растянуть в 12раз.
6. Первое распределительное свойство . Это свойство достаточно очевидно.
7. Второе распределительное свойство . Это свойство справедливо в силу подобия треугольников, изображенных ниже.
8. Нейтральным числом по умножению является единица, то есть, . При умножении вектора на единицу с ним не производится никаких геометрических преобразований.

Рассмотренные свойства дают нам возможность преобразовывать векторные выражения.

Свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов позволяют складывать векторы в произвольном порядке.

Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов  и есть сумма векторов  и .

Учитывая рассмотренные свойства операций над векторами, мы можем в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования так же как и в числовых выражениях.

Разберем на примере.

Пример.

Упростите выражение, содержащее векторы .

Решение.

Если воспользоваться вторым распределительным свойством операции умножения вектора на число, то получим .

В силу сочетательного свойства умножения имеем .

Свойство коммутативности операции сложения векторов позволяет поменять местами второе и третье слагаемые , а по первому распределительному свойству имеем .

А теперь запишем кратко: .

Ответ:

.